주제탐구형프로그램

도서관을 활용한 수학 외적인 수업연구

Fibonacci 수열에 대한 탐구

1. 주제 선정의 배경

수학에도 역사가 있고, 자연현상과 관련있으며, 수학적 개념들 사이의 연관성을 학생들이 느끼게 할 수 있는 흥미있는 소재로서 피보나치 수열을 선정하였다.

수학의 개념에도 역사적 발생배경이 있고 그 시대의 경제적, 사회적 배경 속에서 발생하고 발전한 것임을 느끼게 할 수 있는 소재의 하나가 피보나치수열이다.피보나치수열(Fibonacci sequence)은 피보나치(1170?~1250?)란 수학에 재능이 있는 중세의 이탈리아 피사출신의 상인이 세계곳곳을 다니다가 아라비아 수학의 필산법(筆算法)의 우수성을 깨닫고 귀국한 후 1202년에 '계산판의 책(算盤書, Liber abaci)'을 라틴어로 썼는데 그 책에 서술된 토끼수의 증가문제에서 유래되었다. 또한 토끼수의 증가문제를 통해 피보나치수열을 제대로 만들기 위해서는 전후의 연결관계를 파악하여야 하기 때문에 논리적 추론 능력을 키울 수 있다.

그리고, 솔방울의 나선수, 해바라기씨의 나선수, 파인애플의 나선수 등에서 발견되는 수가 모두 피보나치수열중의 수임을 학생들이 직접 관찰하여 알게 된다면, 단순한 설명에 의한 것보다 수학과 자연의 관련성을 깊이 깨닫는 계기가 될 것이다. 그리하여 학생들이 자연현상을 탐구하는 도구로서의 수학의 유용성을 인식하고, 수학에 대한 흥미를 높이는데 도움이 될 걸로 기대하였고, 그래서 주위에서 쉽게 구할 수 있는 솔방울, 해바라기 씨, 파인애플을 자료로 활용할 수 있다.

독립적일 것 같은 수학개념들 간에도 연관이 있다는 것을 경험하도록 하기 위해 고대건축물, 인체의 구성비와 관련 있는 황금비와 피보나치수열의 관계를 알아볼 수 있다.

그 외에도 피보나치수열을 기호로 나타내고, 피보나치수열의 규칙을 기호로 나타내어 수학적 추상화를 해 보고, 다양한 규칙을 갖고 있는 피보나치수열을 활용한 여러 탐구활동을 해 볼 수 있다.

2. 탐구 활동 안내

피보나치 수열이라는 이름이 붙여지게 된 최초의 문제를 알아보고, 그 원리를 파악하여 문제를 해결 해 보고, 피보나치 수열에서 성립하는 여러 가지 성질을 알아본다. 그리고 피보나치 수열과 연관되는 것에서 어떤 것이 있는 지를 주변의 자연 현상에서 알아본다.

3. 탐구 활동 목표

①피보나치 수열을 수학적, 수학사적, 생물학적 측면에서 이해할 수 있다.

②피보나치 수열의 여러 가지 성질을 이해하고 회귀로 발전시킬 수 있다.

③피보나치 수열을 통해 자연현상에서 발견되는 수학적 원리에 대하여

인식할 수 있다.

④피보나치 수열을 일반화 할 수 있다.

⑤학생들이 피보나치 수열과 황금분할 사이의 관계를 비교할 수 있다.

4. 차시별 탐구 활동 과정

(1) 탐구 주제

Fibonacci 수열에 대한 이해 및 활용에 대한 탐구 활동

(2) 차시별 탐구 목표 및 유형

활동 단계	탐구 주제	탐구목표	탐구 유형
1 차시	Fibonacci 수열에 대한 이해	피보나치 수열이라는 이름이 붙여 지게 된 최초의 문제를 알아보고, 그 원리를 파악하여 문제를 해결 해 보고, 피보나치 수열에서 성립 하는 여러 가지 성질을 탐구 할 수 있다.	☞ 프로젝트 수업 ☞ 모둠별 협동학습 및 토론 학습
2 차시	Fibonacci 수열의 활용에대한 탐구 활동 (1)	피보나치 수열과 연관되는 것에서 어떤 것이 있는 지를 주변의 자연 현상에서 탐구 할 수 있다.	☞ 모둠별 탐구 학습 및 토론학습 ☞ 수업연구
3 차시	Fibonacci 수열의 활용에대한 탐구 활동 (2)	피보나치 수열과 연관되는 것에서 어떤 것이 있는 지를 주변의 자연 현상에서 탐구하여 발표 할 수 있다.	☞ 모둠별 탐구 학습 및 발표 수업 ☞ 모둠별 협동학습 및 토론 학습

(3) 차시별 탐구 활동 과정

활동 단계	탐구 주제	교수-학습 내용	탐구 장소	학습자료 및 도서관활용 자료
1 차시	Fibonacci 수열에 대한 이해	☞학습주제 인식 ☞Fibonacci 수열에 대한 역사 및 유래 ☞Fibonacci 수열에 대한 특징, 성질 ☞동기유발: Fibonacci 수열의 활용 (황금비, 자연, …)	도서관	☞프로젝터 ☞공간활용
2 차시	Fibonacci 수열의 활용에대한 탐구 활동 (1)	☞ Fibonacci 수열의 활용에 대한 안내 ☞모둠별 주제 제시 1. 황금비와의 관계 2. 자연과의 관계 3. 등각나선과의 관계 ☞관련도서 및 관련사이트 안내 ☞자료 수집 모둠원들이 정보검색 및 백과 사전,도서책자등 분야를 나누어 자료검색 ☞자료 분석 ☞보고서 작성	도서관	☞프로젝터 ☞공간활용☞일반도서, ☞백과사전, ☞웹검색
3 차시	Fibonacci 수열의 활용에대한 탐구 활동 (2)	☞보고서 제출 ☞발표하기 Fibonacci 수열의 활용에 대한 모둠별 보고서 발표 ☞정리하기 각 모둠별 토론 및 정리 ☞Fibonacci 수열의 활용 문제 풀기	도서관 또는 교실	☞프로젝터 ☞공간활용

5. 탐구 활동 모형

교사		학 생			사서
☞탐구 주제 제시 ☞동기유발 ☞탐구 주제에 대한 1차적 프로젝트 수업 ☞탐구 주제의 활용에 대한 탐구과제 제시 ☞탐구활동에 대한 안내 ☞모둠별 보고서 작성시 보조 역할	⇔	☞탐구 주제 인식 ☞탐구 주제에 대한 개인별, 모둠별 탐구활동 ☞모둠별 역할 분담		⇔	☞도서자료와 인터넷 자료 검색 안내 ☞학생들이 보고서 작성시 지원 (인쇄,복사)
		주제별 탐구 활동 인터넷검색, 도서 자료 활용	모둠별 토론활동 주제별 발표 내용에 대한 토론
		☞모둠별 보고서 작성 ☞모둠별 탐구 과제 발표 ☞모둠별 보고서 평가 활동 ☞개인별 활용문제 탐구활동
⇩
	☞ 개인별 탐구학습지 제출 ☞ 모둠별 보고서 제출 ☞ 모둠별 보고서 발표 ☞ 모둠별 보고서 평가 ☞ 다른 모둠별 보고서 평가 및 반성 ☞ 개인별 탐구문항 제출

6. 도서관 학생 자리 배치도

5 모둠	32번	최국환 ①	30번	주재호 ②		6 모 둠	31번	채병민 ①	10번	나주안 ②
	35번	최종규 ④	2번	고대훈 ③			26번	장성민 ④	1번	강상우 ③
	12번	박상길 ⑤	27번	정기업 ⑥			28번	정지현 ⑤	20번	신보아스 ⑥

4 모둠	11번	박대원 ①	15번	박의영 ②		3 모 둠	8번	김평산 ①	21번	심규민 ②
	4번	김동원 ④	24번	유성준 ③			25번	임태규 ④	9번	나선형 ③
	13번	박승태 ⑤	18번	서태원 ⑥			36번	한일청 ⑤	5번	김재성 ⑥

1 모둠	22번	양승준 ①	29번	조성우 ②		2 모 둠	7번	김준용 ①	17번	박현진 ②
	3번	공진욱 ④	14번	박윤호 ③			6번	김준수 ④	16번	박정훈 ③
	19번	손정엽 ⑤	34번	최익성 ⑥			23번	오기택 ⑤	33번	최상협 ⑥

지도교사

장 동 일

☞ 학생들 자리 배치는 성적을 고려하여 6모둠 각 6명씩 하였습니다.

☞ 모둠 역할 분담

①,②: 보고서 정리 및 작성, ③: 모둠장, ④: 토론장, ⑤, ⑥: 웹 검색

교수-학습 과정안

탐구주제		Fibonacci 수열에 대한 이해			차시		3차시 중 1차시
탐구목표		피보나치 수열이라는 이름이 붙여지게 된 최초의 문제를 알아보고, 그 원리를 파악하여 문제를 해결 해 보고, 피보나치 수열에서 성립하는 여러 가지 성질을 탐구 할 수 있다.
탐구자료		○ 레오나르도 피보나치- 생애, 업적 소개. http://my.dreamwiz.com/hwagok/joong5.html ○ 피보나치 - 업적 소개. http://chunma.yu.ac.kr/~m0220092/math/mathmatician/f/fibon.htm ○ 피보나치 소개 - 생애, 업적 소개. http://user.chollian.net/~k6833056/pr6-2.htm ○ 피보나치 수열 http://chunma.yu.ac.kr/~m0220092/math/mathstory/story5/fibon.htm ○ 피보나치의 매력/과학영재교육 교재/경남대 과학영재교육센터 ○ 중등 영재 교육 (중등수학) /한국교육개발원 ○ 공주대학교 1정 연수자료/. 1999년
탐구 단계	탐구형태 (과정)		교수-학 습 활 동			시간		도서관 활용 자료 및 유의점
			교사	학생
도입	○ 탐구주제 제시 ○ 동기유발		○ 탐구 주제 제시 ○ 탐구 동기 유발 ○ 프로젝트 수업 ○ 피보나치 수열의 역사 및 유래	○ 탐구 안내 경청 ○ 탐구활동 학습지 작성 ○ 프로젝트		7분		○ 프로젝트 수업 ○ 6 모둠 각 6명씩 편성하여 자리 배치 한다.
전개	○ 탐구활동 ○ 모둠별 협동학습 ○ 토론학습 ○ 탐구활동 ○ 모둠별 협동학습 ○ 토론학습		○ 탐구 활동 안내 ○ 탐구 문제 제시 【토끼의 번식 문제】 1쌍의 토끼가 생후 2개월부터 매달 1쌍의 새끼를 낳는다고 한다. 처음 갓 낳은 1쌍의 토끼가 있을 때, 1개월 후, 2개월 후, 3개월 후, …의 토끼의 쌍의 총수를 구하라. ○ 피보나치수열의 특징 ① 1로 시작한다. ② 처음에 똑같은 두 수가 반복된다. ③ 두 번째 수부터는 맨 앞자 리 단위의 수가 반복된다. (1, 2, 3, 5, 8) ④ 연속하는 두 수의 합이 다음에 나타난다. ⑤ 수들이 홀수, 홀수,짝수로 이어진다. ⑥ 4의 배수 번째에 있는 수들 은 3의 배수이다. ⑦ 이웃하는 두 수의 차이들도 같은 규칙의 수열을 이룬다. ○ 피보나치수열의 성질 ① 어느 숫자건 하나 건너 숫자 로 나누면 그 몫은 2가 됩니 다. 그리고 나머지 값은 그 직전의 값이 됩니다. ② 뒤의 숫자를 바로 앞의 숫자 로 나누면 그 값은 1.618이라 는 숫자에 근접하게 됩니다. 여기서 1.618이라는 숫자는 굉장히 큰 의미를 가지고 있습니다. 바로 이것을 황금비라고 합니다. ③ 연속4항의 성질 피보나치 수열의 임의의 연속 4항을 a,b,c,d라 하고, a의 순번을 n이라고 하면, 여기서 은 순번이 째의 항을 말한다.	○ 탐구 활동 학습지를 푼다. ○ 피보나치 수열이 무엇인지 알아낸다. ○ 피보나치 수열의 특징이 무엇인지를 알아낸다. ○ 피보나치 수열의 성질이 무엇인지를 알아낸다.		38분 38분		○ 각 모둠별로 협동학습 및 토론학습을 한다. ○ 각 모둠별로 협동학습 및 토론학습을 한다.
정리	○차시예고 ○모둠별 탐구안내		○ 차시 예고 -피보나치 수열의 활용 ○ 모둠별 탐구 주제 제시 1 모둠 주제 ( 1조, 4조 ) Fibonacci 수열과 황금비의 관계 2 모둠 주제 ( 2조, 5조 ) Fibonacci 수열과 자연의 관계 3 모둠 주제 ( 3조, 6조) Fibonacci수열과 등각나선의 관계	○ 탐구에 대한 인지 및 질문		5분		○ 다음 시간에는 피보나치 수열의 활용 부문을 모둠 별로 도서관에 있 는 웹 탐색을 통해 탐구한다.

본 수업 연구

교수-학습 과정안

탐구주제

Fibonacci 수열에 대한 탐구 (1)

차시

3차시 중 2차시

탐구목표

피보나치 수열과 연관되는 것에서 어떤 것이 있는 지를 주변의 자연 현상

에서 탐구 할 수 있다.

탐구자료

	○ 서양 미술에 사용된 황금비 - 황금비 정의,건축,미술,음악,사진 황금비 예. http://knot.kaist.ac.kr/~trefoil/hs100/golden/menu.html ○ 황금비에 대하여 - 수학사랑- 황금분할의 유래, 뜻, 활용사례 등 소개. http://www.mathlove.org/~semlove/jsp/golddef1.htm ○ 황금비와 미 -황금비와 미의 기준 관계 설명. http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/goldensection.htm ○ 황금비와 피보나치 수열 - 피보나치 수열과 황금비에 대한 관계, 인체와 생활 속에서의 응용 사례 소개. http://my.netian.com/~tianmeng/fibo3.htm ○ 황금비의 예 - 황금비와 인체부위의 비율, 황금비 적용 건축물 및 회화 작품등 정보 수록. http://chaos.inje.ac.kr/Alife/fibo_art.htm

○ 피보나치 수의 활용

http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/fibonacci-2.htm

○ 피보나치 수열과 자연 현상과의 관계

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

○ 자연에서 볼 수 있는 피보나치 수열의 예 - 피아노 건반, 달팽이,

해바라기 꽃봉오리 등으로 피보나치 수열 이론 설명.

http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/nmath/pvex.htm

○ 피보나치수열에 따르는 등각나선으로 배열

http://chaos.inje.ac.kr/Alife/image/fig6b.gi

○ 생명의 나선_연체동물

... 이 소프트웨어는 등각나선 뿐 아니라 여러 가지 형태의 진화

http://chaos.inje.ac.kr/Alife/equiangular_spiral_mollusca.htm

○ 피보나치의 매력/과학영재교육 교재/경남대 과학영재교육센터

○ 중등 영재 교육 (중등수학) /한국교육개발원

○ 공주대학교 1정 연수자료/. 1999년

탐구

단계

탐구형태

(과정)

교수-학  습 활  동

시간

도서관 활용

자료 및 유의점

교사

학생

도입

○ 복습

○ 동기유발

○ 피보나치 수열의

역사 및 유래

○ 피보나치수열의

성질

○ 피보나치수열의 활용에

대한 안내

○ 지난

탐구 활동

학습지를

참조하며

경청

5분

○ 6모둠

각 6명씩

편성하여

자리 배치

한다.

전개

○ 탐구활동

○ 모둠별

협동학습

및

토론학습

○ 피보나치수열의 연구

① 힐베르트 제 10문제

(부정방정식의 유리정수해의

존재여부를 유한회의 수단

으로 판정하는 일)의 해결

② 러시아 : 수학올림픽문제에

자주 출제

③ 미국 : 1962년 피보나치

협회가 결성," 계간 피보나치"

까지 발간

○ 피보나치수열의 활용

예제

① 황금비

② 증권시장과 피보나치

③ 피보나치와 국화과의 꽃

④ 솔방울(5,8) / 식물의 잎사귀

/ 달팽이 / 우리의 몸 / 음악

○ 모둠별 탐구 과제 제시

① 1모둠 주제 ( 1조, 4조 )  Fibonacci 수열과 황금비의 관계

② 2모둠 주제 ( 2조, 5조 )  Fibonacci 수열과 자연현상의 관계

③ 3모둠 주제 ( 3조, 6조)  Fibonacci 수열과 등각나선의 관계

○ 모둠별 탐구 활동 안내

및 보조 교사 역할 수행

○ 탐구 활동

학습지를

참조하며

경청

○ 모둠별로

과제를 부여

받은 후

모둠별로

활동한다.

① 웹 검색

② 자료수집

③ 자료를 이용

하여 토론한다.

④ 탐구 학습지

(개인)

작성한다.

8분

32분

○  각 모둠별로

협동학습 및

토론학습을

한다.

○ 모둠별로 각각의 역할을 분담한 후 탐구 활동을 한다

○ 도서관에 있는 컴퓨터를 이용하여 웹을 검색하고 사서교사는 보조역할 및 인쇄를 할 수 있도록 돕는다.

정리

○ 발표수업

준비

○ 차시예고

○ 모둠별 보고서 작성을

위한 안내

○ 피보나치 수열의 활용에

대한  그림 제시

○ 차시 예고

- 탐구학습지 작성토록 함

- 보고서 작성 후 발표

수업을 할 수 있도록 함

○ 모둠별로

발표 수업을

할수 있도록

보고서

작성에 대한

안내를 받은

후 다음

시간까지

보고서를

작성하여

제출하고,

개인 탐구

학습지도

제출한다.

5분

○ 다음 시간에는

모둠별로 발표

수업을 한다.

교수-학습 과정안

탐구주제

Fibonacci 수열에 대한 탐구 (2)

차시

3차시 중 3차시

탐구목표

피보나치 수열과 연관되는 것에서 어떤 것이 있는 지를 주변의 자연 현상

에서 탐구하여 발표 할 수 있다.

탐구자료

	○ 서양 미술에 사용된 황금비 - 황금비 정의,건축,미술,음악,사진 황금비 예. http://knot.kaist.ac.kr/~trefoil/hs100/golden/menu.html ○ 황금비에 대하여 - 수학사랑- 황금분할의 유래, 뜻, 활용사례 등 소개. http://www.mathlove.org/~semlove/jsp/golddef1.htm ○ 황금비와 미 -황금비와 미의 기준 관계 설명. http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/goldensection.htm ○ 황금비와 피보나치 수열 - 피보나치 수열과 황금비에 대한 관계, 인체와 생활 속에서의 응용 사례 소개. http://my.netian.com/~tianmeng/fibo3.htm ○ 황금비의 예 - 황금비와 인체부위의 비율, 황금비 적용 건축물 및 회화 작품등 정보 수록. http://chaos.inje.ac.kr/Alife/fibo_art.htm

○ 피보나치 수의 활용

http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/fibonacci-2.htm

○ 피보나치 수열과 자연 현상과의 관계

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

○ 자연에서 볼 수 있는 피보나치 수열의 예 - 피아노 건반, 달팽이,

해바라기 꽃봉오리 등으로 피보나치 수열 이론 설명.

http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/nmath/pvex.htm

○ 피보나치수열에 따르는 등각나선으로 배열

http://chaos.inje.ac.kr/Alife/image/fig6b.gi

○ 생명의 나선_연체동물

... 이 소프트웨어는 등각나선 뿐 아니라 여러 가지 형태의 진화

http://chaos.inje.ac.kr/Alife/equiangular_spiral_mollusca.htm

○ 피보나치의 매력/과학영재교육 교재/경남대 과학영재교육센터

○ 중등 영재 교육 (중등수학) /한국교육개발원

○ 공주대학교 1정 연수자료/. 1999년

탐구

단계

탐구형태

(과정)

교수-학  습 활  동

시간

도서관 활용

자료 및 유의점

교사

학생

도입

○ 발표수업

준비

○ 동기유발

○ 모둠별 발표 수업 준비

○ 발표 수업

준비

○ 모둠별 발표

학생 선정

5분

○ 6모둠

각 6명씩

편성하여

자리 배치

한다.

전개

○ 모둠별

발표학습

○ 모둠별

토론학습

○ 모둠별로 발표 할 수

있도록 보조 역할

○ 모둠별 발표

① 1모둠 주제

( 1조, 4조 )

Fibonacci수열

과 황금비의

관계

② 2모둠 주제

( 2조, 5조 )

Fibonacci수열

과 자연현상의

관계

③ 3모둠 주제

( 3조, 6조)

Fibonacci수열

과 등각나선의

관계

40분

○ 도서관 기자재

활용

○ 발표 순서

□ 1조 → 4조

질문 및 토론

□ 2조 → 5조

질문 및 토론

□ 3조 → 6조

질문 및 토론

정리

○탐구 문제

제시

○ 심화 탐구 문제 제시

○ 탐구 문제 5문항 과제

제시

○ 탐구 문제에

대한 인지 및

모둠별 토론

후 다음 시간

까지 제출

5분

○ 다음 시간에는

탐구 문제 문제를 모둠별로 제출 할 수 있도록 한다.

탐구 활동 학습지

2학년   반    번   성명 : (           )

3차시 중 1차시

【탐구주제】  Fibonacci 수열에 대한 이해

【탐구목표】

피보나치 수열이라는 이름이 붙여지게 된 최초의 문제를 알아보고,

그 원리를 파악하여 문제를 해결 해 보고, 피보나치 수열에서 성립하는

여러 가지 성질을 탐구 할 수 있다.

1. Fibonacci 수열의 역사 및 유래

레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci 1170?~1250?)는 피사 태생의

이탈리아 수학자로, 그는 이집트, 시리아, 그리스, 시실리아 등지를 널리

여행하여 많은 지식을 모아 아라비아의 산술과 대수학을 유럽인들에게

소개하였다.

아라비아에서 발달한 수학을 섭렵하여 이를 정리·소개함으로써, 그리스도

교 여러 나라의 수학을 부흥시킨 최초의 인물이 되었다. 아버지가 아프

리카 북안(北岸) 부지항(港)의 피사의 상무관장(商務館長)으로 있었기

때문에, 어려서부터 수판(數板)에 의한 계산법을 배우고 또한 이슬람교

학교에서 인도 기수법(記數法)을 익혔다고 한다. 그 후 이집트·시리아·

그리스·시칠리아 등지를 여행하여 갖가지 계산법을 습득한 다음 피사로

돌아와, 1202년 《주판서(珠板書)》를 저술하였다.

【문제】 한 쌍의 토끼가 매월 한 쌍의 토끼를 낳고, 태어난 한 쌍의 토끼

가 다음 달부터 한 쌍의 토끼를 매월 낳기 시작한다면, 처음 한 쌍의

토끼로부터 1년간 합계 몇 쌍의 토끼가 태어날 것인가?

이 문제가 바로 피보나치 수열이라고 불리우는 것의 원형이다.

이 피보나치 수열은 식물의 잎이 나오는 순서나 생물의 성장 문제에도

응용할 수 있다고 한다.

2. 토끼의 번식 문제를 통한 Fibonacci 수열의 탐구

【토끼의 번식 문제】

1쌍의 토끼가 생후 2개월부터 매달 1쌍의 새끼를 낳는다고 한다. 처음

갓 낳은 1쌍의 토끼가 있을 때, 1개월 후, 2개월 후, 3개월 후, …의

토끼의 쌍의 총수를  구하라.

(1) 다음 표를 완성하세요.

월	1개월후	2개월후	3개월후	4개월후	5개월후	6개월후	7개월후
토끼쌍의 수	1	1	2		5

(2) 토끼쌍의 수에서 발견되는 규칙은 무엇인가 ?

(3) 그 규칙에 따라 12개월 후의 토끼쌍 수를 구하면 ?

(4) Fibonacci 수열의 특징을 나열하면 ?

(조별로 토론을 통해 알아낸 후 작성 해 주세요.)

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

3. Fibonacci 수열의 성질

【성질 1】

(1) 어느 숫자건 하나 건너 숫자로 나누어 보면, 그 몫은 얼마인가 ?

(2) 그 때, 나머지는 얼마인가 ?

【성질 2】

(3) 뒤의 숫자를 바로 앞의 숫자로 나누면 ?

(4) 그 값은 점점 어디에 근접할까요 ?

(5) 그 수는 어떤 의미를 있습니까 ?

【성질 3】

(6) 피보나치 수열의 임의의 연속 4항을 a,b,c,d라 하고, a의 순번을 n이라고 하면 다음 관계식이 성립하는지 보여라.

여기서    은 순번이  째의 항을 말한다.

Fibonacci 수열의 성질

(1)

(2)

(3)

본 수업 연구 단원

3차시 중 2차시

【탐구주제】  Fibonacci 수열에 대한 탐구 (1)

【탐구목표】

피보나치 수열과 연관되는 것에서 어떤 것이 있는 지를 주변의 자연

현상에서 탐구 할 수 있다.

【피보나치 수의 활용】

피보나치 수는 덧셈만으로 쉽게 만들 수 있고, 출발이 생물의 번식에서 나온 문제이기에 재미있는 테마인데도 우리나라에서는 다루는 곳이 별로 없고, 잘 알려지지 않고 있다.

가까운 주변에 핀 꽃잎의 수라든지, 해바라기 씨들의 나열된 모양, 솔방울의 뒤쪽에 그려진 곡선의 수 등 생물분야에 피보나치 수는 자주 이용되고 있고, 외국에서는 이 연구가 활발하여 최근에는 힐베르트 제 10문제(부정방정식의 유리정수해의 존재여부를 유한회의 수단으로 판정하는 일)의 해결에 사용되었고, 러시아에서 수학올림픽문제에 자주 나오고, 미국에서는 1962년 피보나치 협회가 결성되어 " 계간 피보나치 "까지 발간하여 그에 관한 논문이 실리고 있다. 800년 전의 " 토끼의 증식문제 "에 불과했던 것이 현재도 이와 관련된 많은 논문들이 나오고, 잡지까지 발행되는 것을 보면, 참으로 놀라운 일이 아닐 수 없다.

(예제)

① 황금비 : 황금 분할이란 어떤 길이의 선분을 짧은 선분과 긴 선분 2개로 나눌 때, 짧은 선분의 길이 대 긴 선분의 길이의 비가 긴 선분의 길이 대 전체 선분의 길이의 비와 같도록 나누는 것이다. 보통 1 : 1.618로 일컬어 지는데 이것은 3:5이다.

② 증권시장과 피보나치 : 증권시장에서도 피보나치의 이러한 수학적 원리가 적용될 수 있다는 사실은 1930 연대 미국의 증권가인 엘리어트에 의해서 관찰되었다.

③ 피보나치와 국화과의 꽃 : 해바라기 씨의 배열을 생각하면, 중심에서 가장자리로 뻗어나온 바른 시계 방향과 반 시계 방향의 나선의 수를 세어 보면 피보나치 수열의 이웃하는 두 항임을 알 수 있다.

④ 솔방울(5,8) / 식물의 잎사귀 / 달팽이 / 우리의 몸 /음악등에서도 관찰되어 진다.

【탐구활동 주제】

(1) 1모둠 주제 ( 1조, 4조 ) : Fibonacci 수열과 황금비의 관계

	☞ 서양 미술에 사용된 황금비 - 황금비 정의, 건축, 미술, 음악, 사진 등 사용된 황금비 예. http://knot.kaist.ac.kr/~trefoil/hs100/golden/menu.html ☞ 황금비에 대하여 - 수학사랑- 황금분할의 유래, 뜻, 활용사례 등 소개. http://www.mathlove.org/~semlove/jsp/golddef1.htm ☞ 황금비와 미 -황금비와 미의 기준 관계 설명. http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/goldensection.htm ☞ 황금비와 피보나치 수열 - 피보나치 수열과 황금비에 대한 관계, 인체와 생활 속에서의 응용 사례 소개. http://my.netian.com/~tianmeng/fibo3.htm ☞ 황금비의 예 - 황금비와 인체부위의 비율, 황금비 적용 건축물 및 회화 작품등 정보 수록. http://chaos.inje.ac.kr/Alife/fibo_art.htm

(2) 2모둠 주제 ( 2조, 5조 ) : Fibonacci 수열과 자연현상의 관계

☞ 피보나치 수의 활용

http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/fibonacci-2.htm

☞ 피보나치 수열과 자연 현상과의 관계

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

☞ 자연에서 볼 수 있는 피보나치 수열의 예 - 피아노 건반, 달팽이, 해바라기 꽃봉오리 등으로 피보나치 수열 이론 설명.

http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/nmath/pvex.htm

(3) 3모둠 주제 ( 3조, 6조) : Fibonacci 수열과 등각나선의 관계

☞피보나치수열에 따르는 등각나선으로 배열

http://chaos.inje.ac.kr/Alife/image/fig6b.gi

☞ 생명의 나선_연체동물

... 이 소프트웨어는 등각나선 뿐 아니라 여러 가지 형태의 진화

http://chaos.inje.ac.kr/Alife/equiangular_spiral_mollusca.htm

【참고자료】

(1) 피보나치의 매력/과학영재교육 교재/경남대 과학영재교육센터

(2) 중등 영재 교육 (중등수학) /한국교육개발원

(3) 공주대학교 1정 연수자료/. 1999년

탐구학습지(개인)

2학년   반    번   성명 : (           )

모 둠 주 제
참고자료 및 웹 자료
탐구내용

3차시 중 3차시

【탐구주제】  Fibonacci 수열에 대한 탐구 (2)

【탐구목표】

피보나치 수열과 연관되는 것에서 어떤 것이 있는 지를 주변의 자연

현상에서 탐구 하여 발표할 수 있다.

【모둠별 발표】

(1) 1모둠 주제 ( 1조, 4조 ) : Fibonacci 수열과 황금비의 관계

(2) 2모둠 주제 ( 2조, 5조 ) : Fibonacci 수열과 자연현상의 관계

(3) 3모둠 주제 ( 3조, 6조) : Fibonacci 수열과 등각나선의 관계

【피보나치 수열을 이용한 응용 문제】

[문제1] 10개의 계단을 오르려고 한다. 한 번에 한 계단 혹은 두 계단씩만 오르는 것이 가능하다고 하면, 10개의 계단을 오르는 방법의 가지수는 몇 가지인가 ?

[문제2] 자동판매기에 50원 짜리 은화와 100원짜리 은화를 넣어 합계가 1000원이 되게 하는 방법은 모두 몇 가지인가?

[문제3] 오른쪽 도형과 같이 1×2 m 인 직사각형의 장판을 세로 2m, 가로 10m인 직사각형의 방에다 차도록 까는 방법은 몇 가지나 될까?

[문제4] 피보나치 수열의 일반항은 다음과 같다. 증명 해 보세요.

[문제5]  1 , 3 , 4 , 7 , 11, 18 , 29, 47, 76 , 143 , 219 , ....

이 Lucas 수열은 피보나치 수열의 그림자 같이 따라 다니는 수열이다.

이 Lucas 수열의 특징은 무엇이며, 어디에 활용하는가 ?